길이가 $ n $인 순열이란, 1 이상 $ n $ 이하의 모든 자연수를 임의의 순서로 나열한 수열을 의미한다. 예를 들어 $ [2, 5, 4, 3, 1] $, $ [1, 2, 3, 5, 4] $는 길이가 5인 순열이다. 하지만 $ [1, 2, 3, 4, 3] $이나 $ [10,8,6,4,2] $는 순열이 아니다.

길이가 $ n $인 두 순열 $ p_{1}, p_2, \cdots, p_n $과 $ q_1, q_2, \cdots, q_n $이 있을 때, 두 순열의 **합성** $ p \star q $는 길이 $ n $인 순열로, 다음과 같이 정의된다: $ (p \star q)_i = p_{q_i} $

예를 들어 $ [1, 4, 2, 3, 5] \star [3, 2, 5, 1, 4] = [2, 4, 5, 1, 3] $ 이다.

길이가 15인 순열 $ a = [10, 1, 15, 2, 9, 6, 13, 14, 5, 4, 8, 7, 3, 11, 12] $가 있다.

$ a^1 = a $로 정의하고, 모든 2 이상의 자연수 $ k $에 대해 $ a^{k} = a^{k-1} \star a $ 라고 정의하자.

$ a^{m} =[2, 4, 15, 10, 9, 6, 13, 8, 5, 1, 11, 7, 3, 14, 12] $을 만족시키는 가장 작은 자연수 $ m $의 값은?


순열 거듭제곱